Des QCM

Dans chacun des cas suivants, indiquer la bonne réponse parmi les propositions.

1. On considère la fonction  `f` définie et dérivable sur  `]0\ ;+\infty[` par `f (x) = x ln(x) − x + 1` .
Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de  `f` ?
    a. `\ln(x)`
      b. \(\dfrac{1}{x}-1\)
      c. `\ln(x)-2`
      d. `\ln(x)-1`

2. La limite en  `+\infty` de la fonction  `f` définie sur l’intervalle  `]0\ ;+\infty[` par \(f (x) = \dfrac{2\ln (x)}{3x^2 + 1}\) est égale à :

      a. \(\dfrac{2}{3}\)
      b. \(+\infty\)
      c. `-\infty`
      d. `0`

3. On considère la fonction  `f` définie pour tout réel  `x` par \(f (x) = \ln (1 + x^2 )\) . Sur \(\mathbb{R}\) , l’équation \(f (x) = 2022\)   :
    a. n'admet aucune solution
    b. admet exactement une solution
    c. admet exactement deux solutions
    d. admet une infinité de solutions

4. Soit la fonction  \(g\) défini e, pour tout réel  \(x\) strictement positif, par \(g (x) = x \ln(x) − x^2\) . On note \(\mathscr{C}_g\) sa courbe représentative dans un repère du plan.
    a. La fonction \(g\)  est convexe sur \(]0\ ;+\infty[\) .
    b. La fonction \(g\)  est concave sur \(]0\ ;+\infty[\) .
    c. La courbe \(\mathscr{C}_g\) admet exactement un point d'inflexion sur  \(]0\ ;+\infty[\) .
    d. La courbe \(\mathscr{C}_g\) admet exactement deux points d'inflexion sur  \(]0\ ;+\infty[\) .

5. La fonction \(x \mapsto \ln (−x^2 − x + 6)\) est définie sur :
    a. \(] − 3\ ; 2[\)
    b. \(] −\infty\ ; 6]\)
    c. \(]0 \ ;+\infty[\)
    d. \(]2 \ ; +\infty[\)

6. On considère la fonction  \(f\) définie sur l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) par \(f (x) = 4\ln(3x)\) . Pour tout réel  \(x\) de l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) , on a :
    a. \(f (2x) = f (x) + \ln(24)\)
    b. \(f (2x) = f (x) + \ln(16)\)
    c. \(f (2x) = \ln(2) + f (x)\)
    d. \(f (2x) = 2f (x)\)

7. On note  \((E)\) l’équation suivante \(\ln(x) + \ln(x − 10) = \ln(3) + \ln(7)\) d’inconnue le réel \(x\) .
    a.  \(3\) est solution de \((E )\) .
    b.  \(5-\sqrt{46}\) est solution de  \((E )\) .
    c. L’équation  \((E )\)  admet une unique solution réelle.
    d. L’équation  \((E )\)  admet deux solutions réelles.

8. On considère une suite \((b_n)\) telle que, pour tout entier naturel \(n\) , on a   \(b_{n+1} = b_n + \ln\left( \dfrac{2}{(b_n )^2 + 3}\right)\) . On peut affirmer que :
    a. la suite \((b_n )\) est croissante.
    b. la suite \((b_n )\) est décroissante.
    c. la suite \((b_n )\) n'est pas monotone.
    d. le sens de variation de la suite \((b_n )\) dépend de \(b_0\) .